Chp01. 벡터

1.1 공학과 수학에서의 벡터 - n공간

용어정리

스칼라(scalar)	길이, 넓이, 질량, 온도 – 크기만 존재함
벡터(Vector)	속도, 위치 – 크기 + 방향이 같이 존재
영벡터(Zero vector)	시작점과 끝점이 같아서 크기가 0이다

벡터의 표현
=2~3차원의 공간에서 화살표로 표현한다


벡터의 사용
=물리에서 운동, 송도, 가속도, 힘 등을 표시
=사회과학에서도 벡터의 개념은 사용



&&벡터의 덧셈과 스칼라 배
1)x + y는 x, y에 의해 결정되는 평행사변형의 대각선 크기
2)kx (k>0) x와 방향이 같고 k배 해서 얻어지는 벡터, k<0이면 x와 반대 방향에 길이는 |k|배, k=0이면 kx는 길이가 0인 영벡터

&&벡터의 표현
1)벡터의 표시

를 평면 벡터라 하고로 나타낸다

2)벡터의 성분

이때 실수를 (평면)벡터의 성분(component)라고 한다

&&벡터의 상동
의 벡터와에서 이면 두 벡터는 같다

&&벡터 공간
의 지수인 2는 차원(Dimension)의 수(여기서는 2차원) 따라서 성분 역시 2개



&&벡터의 합 & 스칼라 배 적용
공간 내의 두 벡터에서 xy와 벡터x의 스칼라 배를 정의하면
  


&&3차원 공간의 벡터

공간 벡터 의 벡터 표시 = 
공간 벡터 상에서의 상동 역시 원소 값이 같아야 한다

&&벡터의 일차 결합
가의 벡터이고 가 실수일 때  형태를 일차결합(linear combination) 이라 한다

1.2 내적과 직교

&&Norm(노름)
의 벡터에 대해
를 x의 노름(norm, length, magnitude – “크기”) 이라 한다
두 벡터 x,y가 있으면 는 “거리” 로 정의된다

&&벡터의 내적 (Euclidean inner product, dot product)
의 벡터에서 내적은로 나타낸다

&&벡터의 사잇각
의 벡터 X,Y에서에서 를 X,Y 가 이루는 각(angle)이라 함
또한일 때 X,Y 는 직교한다


&&단위 벡터공간
에서 노름이 1인 벡터는 이며 X,Y가 서로 직교하면서 단위벡터일 때 정규직교(orthonormal)벡터라 한다

Chp09. 다항식의 약수와 배수

09-01 다항식의 최대 공약수와 최소공배수



01 다항식의 약수와 배수
3개의 다항식 A,B,Q 사이에 A=BQ 관계가 있다면 A를 B의 배수, B를 A의 약수라 한다



02 다항식의 최대공약수와 최소공배수
최대공약수
=두개 이상의 다할식에서 공통인 약수중 가장 차수가 큰수 , GCD라고 한다



최소공배수
=두개 이상의 다항식에서 공통인 배수중 가장 차수가 작은 것, LCM 이라 한다



서로소
=두개 이상의 다항식이 상수 이외의 공약수를 가지지 않는 것



09-02 최대 공약수와 최소 공배수의 관계

01.최대 공약수와 최소 공배수의 관계
*두 다항식 A,B의 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라고 하면 A=Ga B=Gb – ab는 서로소
L=Gab LG=AB 를 가진다



02 약수, 배수에서의 다항식과 정수의 유사점

1. 덧셈 뺄셈 곱셈 에 대해 닫혀있다
2. 다항식 A를 다항식 B로 나눈 몫을 Q 나머지를 R이라고 하면 A=BQ+R 이 성립한다
3. 두 정수 A,B의 최대 공약수를 G 최소 공배수를 L이라고 하면 A=GA , B=GB , L=GAB , LG=AB 가 성립한다



Ex) x에 대한 두 다항식 의 최대 공약수가 일차식일 때 0 이아닌 상수a와 이때의 최소 공배수는?

x-a 가 f(x)의 약수니까

Chp08. 나머지정리

08-01 나머지 정리

01.나머지정리

을로 나누는 과정을 생각해보면

=직접 나눗셈
=조립제법
=항등식의 성질
을 이용해서 계산이 가능하다

이때 “항등식의 성질”을 살펴보면이고 여기서 x=2를 대입하면 R=-1이 나온다 

일반화를 적용하면 f(x) = (x-a)Q(x)+R 일때 x에 a를 대입시키면 f(a)=0*Q(a)+R = R=f(a) 가 나온다

**x의 다항식 f(x)를 일차식 x-a로 나누었을 때 나머지는 f(a)와 같다
**일반적으로 x의 일차식 ax+b 로 나누었을 때 나머지는 f(-b/a)와 같다



08-2 인수정리와 고차식의 인수분해 

01.인수정리
X의 다항식 f(x)를 x-a로 나눈 나머지는 f(a)라는 성질을 통해
*x의 다행식 f(x)에 대해 f(a)=0 f(x)는 x-a로 나누어 떨어진다, f(x)=(x-a)Q(x)

02. 인수정리를 이용한 고차식의 인수분해

의 인수분해 방법

1.f(a)=0 이 되는 a의 값을 찾는다
=여기서는 상수항 2의 약수인 1,-1,2,-2중 하나가 된다
=f(1)=0 f(-1)=0 f(2)=0 f(-2)=/0



2.f(a)=0이면 f(x)=(x-a)Q(x) 임을 이용한다
=f(1)=0 f(-1)=0 f(2)=0 으로부터
=(x-1)(x+1)(x-2)

Ex)를 인수분해 하면?

=상수항 -4의 약수 1,-1,2,-2,4,-4 를 대입해본다
= 에서 f(1)=0 이므로 f(x)=(x-1)Q(x) 이고 조립제법을 사용하면

=f(x)=

Chp07. 항등식과 미정계수

07-1 항등식의 성질과 미정계수법



01 항등식의 성질

정의:
항등식 = 미지수에 어떤수를 넣어도 성립하는 것 Ex)3x+2x=5x
방정식 = 특정값에서만 성립하는 수식 Ex) 3X+2X = 5



02 항등식과 미정계수
방정식 ax+b=0을 해결할때는 x의값을 a,b,로 나타내면 된다
Ax+b=0의 항등식 조건은 x에 관계없이 성립할 a,b의 조건을 구하는 것



03 미정계수의 결정
A(x-1)+b(x-2)=2x-3 이 있을 때 a,b에 따라 방정식도,항등식도 가능하다
이때 항등식이 되도록 a,b의 값을 정하는 특성
1.항등식은 양변의 같은 차수의 항의 계수가 같다
2.항등식은 x에 어떤 값을 대입해도 성립한다



07-2 다항식의 나눗셈과 항등힉
1.다항식의 나눗셈과 항등식 예를들어

을 로 나누면 몫은 x+4 나머지는 x-9이다,즉

 으로 나타낼수 있다 

**x의 다항식 a를 x의 다항식 b로 나눈 몫을 q, 나머지를 r이라 할 때 a=bq+r 과 같이 나타낼수 있으며 이를 x에 관한 항등식이라 한다**