물의 5L 들어있는 수조에 매분 2l의 비율로 물을 넣을 때 시간x와 물의양 y관계를 식으로 나타내면 y=2x+5 처럼 나타낸다, 이때 x의 값이 정해지면 y의 값도 정해질 때 “y는 x의 함수이다” 라고 한다.
**특징**
1.Y=ax+b(a,b는 상수 a=/0)에서 y가 x의 일차식으로 나타내는 것을 일차함수라고 한다
2.일차함수 y=ax+b 에서 x값의 증가량에 대한 y값의 증가량의 비율은 항상 일정하다
3.비율은 x의 계수 a와 같다, 즉 a는 x가 1증가시 y가 a만큼 증가함을, b는 x의 값이 0일 때 y값인 “절편”을 의미한다.
4.기울기가 +이면 오른쪽 위를 향해가고 기울기가 –이면 오른쪽 아래로 내려가는 형상을 지닌다
01.함수의 뜻
상수:일정한 값을 가지는 수나 문자
함수 : 두변수 x,y에 대해 x값이 정해짐에 따라 y가 오직 하나로 정해질 때 y=x의 함수로 y=f(x)로 나타낸다
함수값: 함수 y=f(x) 에서 x가 1일 때 값은 f(1)이다
Ex)함수 y=f(x)에서 x가 1일 때 값은 f(1)이다
Ex)함수 f(x)=2x g(x)=8/x 일때 3f(2)+5g(-4) 를 구하라 = 3*4+5*-2 = 12-10=2
02.일차함수의 뜻
함수 y=f(x)에서 y가 x에 대한 일차식 y=ax+b 로 나타내어 질 때 y=f(x)를 일차함수라 한다
03.일차함수 y=ax+b 그래프
평행이동:한 도형을 일정 방향으로 일정거리 이동시킨것
일차함수 y=ax+b 의 그래프란? : 일차함수 y=ax그래프를 y축 방향으로 b만큼 평행 이동한 직선
Ex)일차함수 y=1/2x의 그래프와 y=1/2x-1 을 나타내라
04.일차함수의 그래프와 x정편 ywjfvus
x절편:일차함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표 y=0일때 x의 값
y절편:일차함수의 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표 x=0일 때 y의 값
일차함수 y=ax+b x절편 =-a/b y절편=b
절편(끊을 절, 조각 편) = 그래프가 x축 y축과 만날 때 축에 해당하는 수직선에 대응하는값
05.x절편 y절편을 이용한 그래프 그리기
일차함수의 그래프는 직선이므로 서로다른 두점을 알면 쉽게 그릴수 있다, x절편 y절편을 구하여 표평면에 나타낸후 두점을 직선으로 나타낸다
Ex)y=x+3 , y=3/4x-4 의 x,y절편을 구하고 그래프를 그려라
x절편=-3 y절편=3 x절편=3 y절편=-4
06.일차함수 그래프의 기울기
Y=ax+b 그래프의 기울기 : x값의 증가량에 대한 y값의 증가량의 비율
=기울기 = y값의 증가량 / x값의 증가량 = a
그래프의 두점에서 기울기 구하기
=두점을 (x1,y1) (x2,y2)라고 하면 y2-y1 / x2-x1
Ex)다음 두점을 지나는 직선의 기울기를 구하라
(-1,1)(3,5) = 5-1/3-(-1) = 4/4=1
(-2,4)(4,1) = 1-4/4-(-2) = -3/6 = -1/2
07.기울기와 y절편을 이용한 그래프 그리기
Y=ax+b의 그래프는 y절편이 b이고 기울기가 a이므로
=1.y축위의 점=y절편=b (0,b)를 그림
=2.(0,b)를 기준으로 기울기가 a가 되는 다른점을 탐색
=3.직선 그리기
검정 = y=2/3x+1
빨강 = y=-3/2x-2
08.일차함수 y=ax+b 그래프의 성질
일차함수 y=ax+b의 그래프는 기울기 a y절편b인 직선의 형태이다
=a의 부호에 따른 그래프의 증가 감소
=b의 (y절편)부호에 따른 그래프의 위치
b>0일 때 y축의 양의부분 = 1,2 사분면
b<0일 때 y축의 음의 부분 = 3,4 사분면
에서 만난다
09.일차함수 그래프의 평행과 일치
두 일차함수 y=ax+b , y=a’x+b’ 의 그래프의 평행 일치 조건
평행 = 기울기가 같고 y절편이 다르다
일치 = 기울기와 y절편 모두 같다
10.기울기와 한 점을 알 때 일차함수의 식
기울기가 a이고 ㅛ절편이 b인 식 y=ax+b
==기울기-2, y절편 3 –y=-2x+3
기울기가 a이고 한점 (x,y)를 지날 때
==기울기-1 점 3,2 지남 y=-x+b -- 2=-3+b b=5 -y=-x+5
11.두점을 알 때 일차함수의 식
서로다른 두점 (x1,y1)을 알 때
=1 기울기=y증가량/x증가량 = y2-y1/x2-x1
=2 y=ax+b에 1에서 구한 기울기 대입
=3 점 하나를 대입해서 y절편을 구한다
Ex) (1,3),(2,5)
a=5-3/2-1=2/1 a=2
**y=2x+b
3=2+b
**1=b
y=2x+1
Ex) (2-1)(-2,1) 에서 y축으로 1만큼 평행이동 그래프
A=1-(-1)/-2,1=-2/4 -1/2
**a=-1/2
y=-1/2x+b
-1=-1+b
**B=0
**Y=-1/2x
Y축 1만큼 이동 y=-1/2x+!
12.x절편 y절편을 알 때 일차함수의 식
원점을 지나지 않는 직선의 x절편이 m이고 y절편이 n일 때
1.두점 m,0 , 0,n의 기울기 구하기 = n-0/0-m = -n/m
2.일차함수식 y=ax+b로 두고 a의 기울기 –n/m ,b에 y절편 m을 대입한다
Ex) 3,0)(0,2) a=-2/3 y=-2/3x+2 y절편 b=2
13.일차 함수의 활용
일차함수 문제 푸는법
1.변하는 두 양의 변수 x,y로 정한다
2.두 양사이의 관계를 y=f(x)로 둔다
3.관계식으로 x,y를 확인
4.조건에 맞는지 확인
Ex) 길이가 30츠 인 초에 불을 붙히고 1분마다 측정한 값이 다음과 같다
0, 1, 2, 3, 4
30 28 26 24 22
관계식은? Y=30-2x
12분뒤의 초의 길이는? Y=30-2*12=6
남은초가 14cm일 때 시간 x는? 14=30-2*8 8분뒤에 14cm이 남는다
14.일차 방정식과 일차함수의 관계
직선의 방정식 x,y의 값의 범위가 수의 전체일 때 일차 방정식
-ax + by + c = 0 의 해는 무수히 많고 이걸 그래프로 하면 직선이 된다
Ax+by + c = 0의 그래프는 일차함수 y=a/bx – c/b와 같다
Ex)다음 방정식을 y=ax+b로 나타내어라
2x+y-4=0 y=-2x+4
Ex)다음 방정식의 그래프를 작성하라
x-y+2=0 y=x+2
y축에 평행한 직선
=그래프의 방정식은 x=a
=점 x,0을 지난다
=기울기는 없음
=함수가 아님
16.연립방정식의 해와 두 방정식의 그래프
연립일차 방정식의 해는 두 그래프의 교점과 같다
17.연립 일차 방정식의 해의 개수와 그래프의 위치관계
해의 관계== 1개 해가없다 무수히많다
위치 관계== 1점에서 만남 평행하다 일치한다
계수의 비== a/a’ =/ b/b’ a/a’ = b/b’ =/ c/c’ a/a’ = b/b’ = c/c’
기울기&절편==기울기가 다름 기울기는 같고 y절편이 다름 기울기,y절편이 같다
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