Chp10. 확률과 그 기본성질

01.사건과 경우의 수
사건=실험이나 관찰에 의해 일어나는 결과
경우의수 = 사건이 일어나는 가짓수



02.사건이 따로 일어날때 경우의 수
사건 ab가 일어나는 경우가 m,n일 때 동시어 일어나지 않으면 경우의 수는 m+n 이다
Ex)a에서 b까지 가는데 기차로는 3가지 버스로 2가지가 있을 때 3+2가지의 가능성이 있다



03.사건이 동시에 일어날때의 경우의 수
사건 a,b가 일어나는 경우가 m,n일 때 동시 발생 가능성은 m*n이다
Ex)상의 하의가 각각 3,2종류일 때 옷의 조함은 3*2 로 6가지이다



04.동전 또는 주사위를 던질때의 경우의 수
서로다른 m개의 동전의 모든 경우의 수=2^m
서로다른 n개의 주사위를 던질때의 가짓수 = 주사위는 6개의 눈이 있으니 6^n
서로다른 주사위 n개와 동전m개를 동시에 던질 때 = 6^n * 2^m



05.한줄로 세우는 경우의 수
n명을 한줄로 세울 때 = n * (n-1) * n(-2)….
즉 n(n명중 1명을 뽑을 가능성) * (n-1) (n에서 1명을 뺀 나머지의 가능성)…으로 이어짐



06.한줄로 세울 때 이웃해서 세우는 경우의 수
1.이웃하는 것을 하나로 묶어서 세우는 경우의 수를 도출
2.묶음안에서 자리바꾸는 수를 구함
1과 2를 곱한다

Ex)ABCD 를 세우는 데 AB를 이웃시킨다
1 AB를 묶고 AB,C,D를 세우면 3*2*1 = 6
2 AB를 자리바꾸는 방법 2*1 = 2
3 6*2=12 가지의 방법



07.확률의 뜻
정의
==일어날수 있는 모든 경우에 수에 대한 사건 A가 일어날 비용
사건 A가 일어날 확률
==모든 경우의 수가 N이고 어떤 사건 A가 일어나는 경우가 a라 하면 확률 p는
==a발생확률/모든 경우의수
==a/n이다



08.확률의 성질
어떤 사건이 일어날 확률
== 0 <= P <= 1
==모든 확률은 0과 1사이에 있다
==반드시 일어나는 확률은 1
==절대 일어나지 않은 확률은 0
==적어도 어느사건이 일어나지 않을 확률은 1-p이다 (어떤 사건이 일어나는 확률이 p라면)



09.확률의 계산
사건 a가 일어날 확률 p, b가 일어날 확률이 q일 때
A 또는 b가 일어날 확률= p+q
A와 b가 동시에 일어날 확률 = p*q


Ex)서로다른 주사위 ab를 동시에 던져서 눈의 합이 4,12일 확률은?
눈의 합이 4의 확률의 가능성 (1,3)(2,2),(3,1) 3/36 = 1/12
눈의 합이 12의 확률 가능성 (6,6) = 1/36
4또는 12일 확률= 1/12 + 1/36 = 4/36 = 1/9



10.연속해서 뽑는 확률
--꺼낸걸 다시 넣고 뽑기
===처음 사건이 나중에 영향을 주지 않음
--꺼낸걸 다시 넣지 않고 뽑기
===처음 사건이 나중에 영향을 준다

Chp9. 피타고라스의 정리

01.피타고라스의 정리
정의 = 직각을 낀 두변의 길이를 a,b 빗변의 길이를 c라 할때

02.유클리드의 증명

03.피타고라스의 증명

04바스카라의 정리

05.히포크라테스의 초승달
**그림 그리기 귀찮아서 pass**

Chp8. 도형의 닮음

00.도형의 닮음
정의
=한 도형을 일정한 비율로 확대 축소하여 얻은 도형이 다른 도형과 합동이 될 때 닮음이라 한다, 이떄 대응하는 변의 길이를 닮은비 라고 한다

닮음의 조건
1.대응하는 세 쌍의 변의 길이의 비가 같을 때
2.대응하는 두쌍의 변의 길이의 비가 같고 끼인각의 크기가 같을 때
3.대응하는 두 쌍의 크기가 각각 같을 때



01. 닮은 도형
정의
=한 도형을 일정 비율로 확대 축소한 도형이 다른 도형과 합동이 될 때
작성법
=작성하는 꼭지점의 순서는 대응하는 순서로 작성한다
=(삼각형)abc와 (삼각형)def가 닮은 관계일 때 ~ (Similarity 의 s를 눕힌 표현)을 사용한다



02.닮음의 성질
평면 도형에서의 닮음의 성질
==대응하는 변의 길이비는 일정하다
==대응하는 각의 크기는 서로 같다
입체 도형에서의 닮음의 성질
==대응하는 모서리의 비는 일정
==대응하는 면은 복잡하다


03.삼각형의 닮음조건

 

04.직사각형의 닮음
(각)A=90’ 인 직각 삼각형 abc에서 (선분)AHㅗ(선분)BC일 때 직각삼각형의 닮음관계
(삼각형)abc ~ (삼각형)hba ~ (삼각형)hac

05.삼각형에서 평행선과 선분의 길이의 비
(삼각형)abc에서 점 de가 (선분)ABㅗ(선분)AC의 연장선에 있을 때

06.삼각형의 내각의 이등분선의 성질
(삼각형)ABC 에서 (각)A의 이등분선이 BC와 만나는 점을 D라 하면

 

(선분)AB : (선분)AC = (선분)BD : (선분)DC
A의 연장선을 그으면
AE=AC
AB:AC=BD:CD


07.삼각형의 외각의 이등분선의 성질
(삼각형)ABC에서 (각)A 의 외각의 이들분선이 BC의 연장선과 만나는 점을 D라 하면

08.평행선 사이의 선분의 길이의 비
3개의 평행선이 다른 두 직선과 만날 때 평핼선 사이의 선분의 길이의 비와 같다

09.사다리꼴의 평행선과 선분의 길이의 비

10.평행선 사이의 선분의 길이의비 응용

AC와 BD의 교점이 E이고 AB // ef // DC 일때
BF : FC = BF : ED , AE:EC , AB:DC, 6:12
(삼각형)BCD에서 ED:CD = BE:BD=BE : (BE+ED)



11.삼각형의 두 정점을 연결한 선분의 특징
특징:두 변의 중점끼리 연결한 선분은 나머지 변과 평행이고 길이는 남은 변의 1/2이다

12.사다리꼴의 중점을 연결한 선분의 성질

13.삼각형의 중선과 무게중심
중선
=삼각형의 한 꼭지점과 대변의 중선을 이은 선
무게중심
=세 중선의 길이를 각 꼭지점으로부터 2:1로 나눈다, 즉 ABC의 중심이 G일 때 AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2:1

14.삼각형의 무게중심과 넒이
삼각형의 중선
==삼각형의 넓이를 이등분한다
삼각형의 무게중심과 넒이, 감각형의 세 중선에 의해 나누어지는 6개의 삼각형의 넓이는 모두 같다



15.평행사변형과 삼각형의 무게중심

16.닮은 도형의 넓이의 비와 부피의 비
넒이비 = 닮은비가 m:n이면 넓이비는 m^2 : n^2
부피비 = m^3 : n^3


17.닮음의 활용
축도:도형을 일정 비율로 줄여서 그린 그림
축척:축도에서 실제 도형을 줄인 비율
축도에서 실이와 실제 길이의 관계 = 축척 : 축도에서의 길이/실제길이
축도에서 길이 = 실제길이 * 축척
실제길이 = 축도에서의 길이/축척

Chp7. 사각형의 성질

00.사각형의 성질
사각형 abcd에서
대변=마주보는 변
대각=서로 마주보는 각

사각형의 성질 도표

01.평행사변형과 그 성질
평행사변형의 정의: 두쌍의 대변이 각각 평행한것
평행 사변형의 성질
=두쌍의 대변이 각각 같다
=대각의 크기가 각각 같다
=두 대각선은 서로 다른 것을 이등분한다



02.평행 사변형이 되는 조건
사각형이 다음중 하나를 만족하면 평행사변형이라 부를수 있다
=두쌍의 대변이 평행하다
=두쌍의 길이가 같다
=대각의 크기가 같다
=대각선이 서로 다른 것을 이등분 한다
=대변이 평행하고 길이가 같다



03.평행사변형의 넓이
=평행사변형의 한 대각선을 평행 사변형의 넓이를 이등분한다
=두 대각헌에 의해 만들어지는 4개의 삼각형은 크기가 같다
=평행사변형 abcd의 내부의 한점 p에 대하여
===(삼각형)PAB + (삼각형)PCD=(삼각형)PAD + (삼각형)PBC
====1/2 ABCD

04.직사각형과 그 성질
정의=4각의 크기가 90’로 같은 것
성질 = 두 대각선은 길이가 같고 서로 다른 것을 이등분 한다

05.평행사변형이 직사각형이 되는 조건
--1한 내각이 직각이다
--2두 대각선의 길이가 같다



06.마름모와 그 성질
정의:4변의 길이가 모두 같은 사각형
--마름모는 두 쌍의 대변의 길이가 모두 같으면 평행사변형이다
마름모의 성질 : 두 대각선은 서로 다른 것을 수직 이등분 한다

07.평행사변형이 마름모가 되기 위한 조건
==이웃하는 두변의 길이가 같다
==두 대각선이 직교한다



08.정사각형과 그 성질
정의:=4각의 크기, 4변의 길이가 모두 같은 사각형
--정사각형은 직사각형, 마름모의 성질을 모두 만족한다
성질=두 대각선의 길이가 같고 서로 다른 것을 수직 이등분 한다



09.직사각형이 정사각형이 되는 조건
==이웃하는 두변의 길이가 같다
==두 대각선이 직교한다

09.마름모가 정사각형이 되는 조건
==한 내각이 직각
==두 대각선의 길이가 같다



10.등변 사다리꼴과 그 성질
사다리꼴 : 한쌍의 대변이 평행한 사각형
등변사다리꼴 : 아랫변 양 끝각의 크기가 같은 사다리꼴
등변사다리꼴의 성질 : 평행하지 않은 한쌍의 대변의 길이가 같다, 두 대각선의 길이가 같다


11.여러가지 사각형의 관계

1=한쌍의 대변이 평행
4=한 내각이 직각
5=이웃하는 두변의 길이가 같다



12.평행선과 넓이
평행선과 삼각형의 넓이
=꼭지점이 평행선 위에 있는 두 삼각형의 높이는 같다, 즉 밑변의 길이가 같다면 넓이 역시 같다
높이가 같은 두 삼각형의 넓이의 비, 높이가 같은 두 삼각형에서 넓이의 비는 밑변의 길이와 같다

13.평행선과 삼각형의 넓이의 활용
=사각형을 넓이가 같은 삼각형으로 바꾸는 방법
1.꼭지점에서 대각선 AC에 평행한 직선 긋기
2.변 BC의 연장선을 긋고 1의 교점을 E라하면 (삼각형)ACD, (삼각형)ACE는 같다
3.ABCD= ABC + ACE = ABE

Chp6. 기하

00.삼각형의 성질
=두변의 길이가 같은 삼각형을 이등변 삼각형이라 하는데 밑각의 크기가 같고 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직 이등분 한다

직각삼각형의 합동조건
=빗변의 길이와 한 예각이 같다
=빗변의 길이와 다른 1변이 같다


삼각형의 외심
=삼각형의 세변의 수직 이등분선이 만나는점, 외심에서 삼각형의 세 꼭지점에 이르는 거리는 같다

삼각형의 내심
=삼각형의 세 내각의 이등분선이 만나는점, 내심에서 삼각형의 세변에 이르는 거리는 같다

01.이등변 삼각형
정의
==두 변의 길이가 같은 삼각형
구성요소
==꼭지각:길이가 같은 두 변이 이루는 각
==밑변: 꼭지각의 대각
==밑각: 밑변의 양 끝각

02.이등변 삼각형의 성질 – 1
=이등변 삼각형에서 두 밑각의 크기는 서로 같다
=삼각형 abc에서 –(선분)ab = -(선분)ac 이면 (각)B = (각)C이다



03.이등변 삼각형의 성질 -2
=이등변 삼각형에서 꼭지각의 이등분선은 밑변을 수직 이등분 한다
=삼각형 abc에서 ab=ac , (각)bac = (각)cad이면 (선분)BD=(선분)CD이고 ADㅗBC이다
=이등변 삼각형에서 밑변을 수직 이등분 하는 직선은 꼭지각을 이등분한다

04.이등변 삼각형이 되는 조건
=두 내각의 크기가 같아야 한다



05.이등변 삼각형의 응용
=연속한 두개의 삼각형
(삼각형) ABD에서 한 외각의 크기는 이웃하지 않은 두 내각의 크기의 합이다
(각)ACD = (각)BAD + (각)ABD
=한 외각의 이등분선과 이등변 삼각형
(삼각형) ABC의 한 외각 ACE의 각을 구하고 (삼각형)BCD에서 (각)DCE=(각)CBD+(각)CDB를 이용

06.직각 삼각형의 합동조건
=RHA합동
==두직각 R에서 빗변 H의 길이와 예각 A가 각각 같음
=RHS합동
==두직각 R에서 빗변 H의 길이와 다른변 S의 길이가 같으면 합동

07 삼각형의 외심
외접원과 외심
한 다각형의 모든 꼭지점이 원위에 있을 때 다각형의 외접원이라 하고 원의 중심을 외심이라 한다
외심=삼각형의 세변의 수직 이등분 선의 교점
외심의 성질= 외심에서 세 꼭지점에 이르는 거리는 모두 같다

08.삼각형의 외심의 활용
1.점 O가 삼각형 ABC의 외심일 때 (각)X+(각)Y+(각)Z=90

2.(각)BOC=2(각)A

외심의 위치
=예각 – 삼각형 내부
=둔각 – 삼각형 외부
=직각 – 빗변의 중점



09삼각형의 내심
원의 접선
=접선과 접점 : 원과 직선이 한점에서 만날 때 직선이 원에 접한다는 의미로 접선, 접점이라함
삼각형의 내심
=내접원과 내심 : 한원이 다각형의 모든 변에 접할 때 내접원, 그 중심은 내심이라 한다

내심의 성질
=내심에서 세 변에 이르는 거리는 모두 같다

10.삼각형의 내심의 활용

점 I가 삼각형 ABC의 내심일 때 X+Y+Z=90

Chp5. 함수

일차함수와 그래프, 일차함수와 일차 방정식의 관계
물의 5L 들어있는 수조에 매분 2l의 비율로 물을 넣을 때 시간x와 물의양 y관계를 식으로 나타내면 y=2x+5 처럼 나타낸다, 이때 x의 값이 정해지면 y의 값도 정해질 때 “y는 x의 함수이다” 라고 한다.



**특징**
1.Y=ax+b(a,b는 상수 a=/0)에서 y가 x의 일차식으로 나타내는 것을 일차함수라고 한다
2.일차함수 y=ax+b 에서 x값의 증가량에 대한 y값의 증가량의 비율은 항상 일정하다
3.비율은 x의 계수 a와 같다, 즉 a는 x가 1증가시 y가 a만큼 증가함을, b는 x의 값이 0일 때 y값인 “절편”을 의미한다.
4.기울기가 +이면 오른쪽 위를 향해가고 기울기가 –이면 오른쪽 아래로 내려가는 형상을 지닌다

01.함수의 뜻
상수:일정한 값을 가지는 수나 문자
함수 : 두변수 x,y에 대해 x값이 정해짐에 따라 y가 오직 하나로 정해질 때 y=x의 함수로 y=f(x)로 나타낸다
함수값: 함수 y=f(x) 에서 x가 1일 때 값은 f(1)이다
Ex)함수 y=f(x)에서 x가 1일 때 값은 f(1)이다
Ex)함수 f(x)=2x g(x)=8/x 일때 3f(2)+5g(-4) 를 구하라 = 3*4+5*-2 = 12-10=2



02.일차함수의 뜻
함수 y=f(x)에서 y가 x에 대한 일차식 y=ax+b 로 나타내어 질 때 y=f(x)를 일차함수라 한다



03.일차함수 y=ax+b 그래프
평행이동:한 도형을 일정 방향으로 일정거리 이동시킨것
일차함수 y=ax+b 의 그래프란? : 일차함수 y=ax그래프를 y축 방향으로 b만큼 평행 이동한 직선
Ex)일차함수 y=1/2x의 그래프와 y=1/2x-1 을 나타내라

붉은색이 y=1/2x 파란색이 y=1/2x-1



04.일차함수의 그래프와 x정편 ywjfvus
x절편:일차함수의 그래프가 x축과 만나는 점의 좌표 y=0일때 x의 값
y절편:일차함수의 그래프가 y축과 만나는 점의 좌표 x=0일 때 y의 값

일차함수 y=ax+b x절편 =-a/b y절편=b
절편(끊을 절, 조각 편) = 그래프가 x축 y축과 만날 때 축에 해당하는 수직선에 대응하는값



05.x절편 y절편을 이용한 그래프 그리기
일차함수의 그래프는 직선이므로 서로다른 두점을 알면 쉽게 그릴수 있다, x절편 y절편을 구하여 표평면에 나타낸후 두점을 직선으로 나타낸다
Ex)y=x+3 , y=3/4x-4 의 x,y절편을 구하고 그래프를 그려라
x절편=-3 y절편=3 x절편=3 y절편=-4

06.일차함수 그래프의 기울기
Y=ax+b 그래프의 기울기 : x값의 증가량에 대한 y값의 증가량의 비율
=기울기 = y값의 증가량 / x값의 증가량 = a
그래프의 두점에서 기울기 구하기
=두점을 (x1,y1) (x2,y2)라고 하면 y2-y1 / x2-x1


Ex)다음 두점을 지나는 직선의 기울기를 구하라
(-1,1)(3,5) = 5-1/3-(-1) = 4/4=1
(-2,4)(4,1) = 1-4/4-(-2) = -3/6 = -1/2



07.기울기와 y절편을 이용한 그래프 그리기
Y=ax+b의 그래프는 y절편이 b이고 기울기가 a이므로
=1.y축위의 점=y절편=b (0,b)를 그림
=2.(0,b)를 기준으로 기울기가 a가 되는 다른점을 탐색
=3.직선 그리기

검정 = y=2/3x+1
빨강 = y=-3/2x-2



08.일차함수 y=ax+b 그래프의 성질
일차함수 y=ax+b의 그래프는 기울기 a y절편b인 직선의 형태이다
=a의 부호에 따른 그래프의 증가 감소

=b의 (y절편)부호에 따른 그래프의 위치
b>0일 때 y축의 양의부분 = 1,2 사분면
b<0일 때 y축의 음의 부분 = 3,4 사분면
에서 만난다



09.일차함수 그래프의 평행과 일치
두 일차함수 y=ax+b , y=a’x+b’ 의 그래프의 평행 일치 조건
평행 = 기울기가 같고 y절편이 다르다
일치 = 기울기와 y절편 모두 같다



10.기울기와 한 점을 알 때 일차함수의 식
기울기가 a이고 ㅛ절편이 b인 식 y=ax+b
==기울기-2, y절편 3 –y=-2x+3
기울기가 a이고 한점 (x,y)를 지날 때
==기울기-1 점 3,2 지남 y=-x+b -- 2=-3+b b=5 -y=-x+5



11.두점을 알 때 일차함수의 식
서로다른 두점 (x1,y1)을 알 때
=1 기울기=y증가량/x증가량 = y2-y1/x2-x1
=2 y=ax+b에 1에서 구한 기울기 대입
=3 점 하나를 대입해서 y절편을 구한다 

Ex) (1,3),(2,5)
a=5-3/2-1=2/1 a=2
**y=2x+b
3=2+b
**1=b
y=2x+1

Ex) (2-1)(-2,1) 에서 y축으로 1만큼 평행이동 그래프
A=1-(-1)/-2,1=-2/4 -1/2
**a=-1/2
y=-1/2x+b
-1=-1+b
**B=0
**Y=-1/2x
Y축 1만큼 이동 y=-1/2x+!



12.x절편 y절편을 알 때 일차함수의 식
원점을 지나지 않는 직선의 x절편이 m이고 y절편이 n일 때
1.두점 m,0 , 0,n의 기울기 구하기 = n-0/0-m = -n/m
2.일차함수식 y=ax+b로 두고 a의 기울기 –n/m ,b에 y절편 m을 대입한다
Ex) 3,0)(0,2) a=-2/3 y=-2/3x+2 y절편 b=2



13.일차 함수의 활용
일차함수 문제 푸는법
1.변하는 두 양의 변수 x,y로 정한다
2.두 양사이의 관계를 y=f(x)로 둔다
3.관계식으로 x,y를 확인
4.조건에 맞는지 확인



Ex) 길이가 30츠 인 초에 불을 붙히고 1분마다 측정한 값이 다음과 같다
0, 1, 2, 3, 4
30 28 26 24 22
관계식은? Y=30-2x
12분뒤의 초의 길이는? Y=30-2*12=6
남은초가 14cm일 때 시간 x는? 14=30-2*8 8분뒤에 14cm이 남는다



14.일차 방정식과 일차함수의 관계
직선의 방정식 x,y의 값의 범위가 수의 전체일 때 일차 방정식
-ax + by + c = 0 의 해는 무수히 많고 이걸 그래프로 하면 직선이 된다
Ax+by + c = 0의 그래프는 일차함수 y=a/bx – c/b와 같다 

Ex)다음 방정식을 y=ax+b로 나타내어라
2x+y-4=0 y=-2x+4 

Ex)다음 방정식의 그래프를 작성하라
x-y+2=0 y=x+2

15.축에 평행한 직선
y축에 평행한 직선
=그래프의 방정식은 x=a
=점 x,0을 지난다
=기울기는 없음
=함수가 아님

16.연립방정식의 해와 두 방정식의 그래프
연립일차 방정식의 해는 두 그래프의 교점과 같다


17.연립 일차 방정식의 해의 개수와 그래프의 위치관계
해의 관계== 1개 해가없다 무수히많다
위치 관계== 1점에서 만남 평행하다 일치한다
계수의 비== a/a’ =/ b/b’ a/a’ = b/b’ =/ c/c’ a/a’ = b/b’ = c/c’
기울기&절편==기울기가 다름 기울기는 같고 y절편이 다름 기울기,y절편이 같다