Chp04. 이차함수와 그래프

01.이차함수의 뜻
정의
=함수 y=f(x) 에서 f(x) 가 x에 대한 이차신 y=ax^2+bx+c (a=/0 a,b,c는 상수) 로 나타낼 때 y=f(x) 를 이차 함수라 한다



02.이차삼수 y=x^2의 그래프
=원점을 지나고 아래로 볼록한 곡선
=y축에 대칭
=x<0일 때 :x가 증가시 y가 감소
=x>0일 때 :x가 증가시 y도 증가
=원점을 제외한 모든 부분은 x축보다 위에 있다
=y=x^2 의 그래프와 x축에 대칭

Ex)y=-x^2에 대해 다음을 구하면?
X=-3 -2 -1 0 1 2 3
Y=-9 -4 -1 0 1 4 9

03.이차함수 y=ax^2
이차함수 y=ax^2 의 그래프처럼 모양의 곡선을 포물선이라고 한다
=포물선은 한 직선에 대칭인 도형으로 직선을 포물선의 축이라고 한다
=포물선과 축이 만나는 교점을 포물선의 꼭지점이라 한다



이차함수 y=ax^2 (a=/0)의 그래프
=원점을 꼭지점으로하고 y축을 아래로 하는 포물선
=a가 a>0 에서는 아래로 볼록
=a가 a<0 에서는 위로 볼록
=a의 절대값이 클수록 포물선의 폭이 줄어든다
=y=ax^2 과 y=-ax^2의 그래프는 x축에 대칭이다

빨간색 Y=-x^2 파란색 y=-3x^2 녹색 y=x^2 보라색 y=3x^2



04.이차함수 y=ax^2
Y=ax^2+q 의 그래프
=이차함수 y=ax^2 의 그래프를 y축의 방향으로 q만큼 평행 이동한 것
=y축으로 하고 점 (0,q)를 꼭지점으로 하는 포물선이다
Ex)y=x^2의 그래프와 y=x^2+1의 그래프를 그려라

검정 y=x^2+1 빨강 y=x^2



05.이차함수 y=a(x-p)2의 그래프
Y=a(x-p)^2의 그래프
정의 = 이차함수 y=ax^2 의 그래프를 x축의 방향으로 p만큼 평행이동한 것
특징 = 직선 x=p 를 축으로 하고 점(p,0)을 꼭지점으로 하는 포물선

파란색 y=1x^2 초록색 y=1(x-1)^2 

Ex)y=2x^2 의 그래프와 y=2(x-2)^2 y=2(x+3)^2 의 그래프를 그려라

빨강 y=2(x+3)^2 보라색 y=2x^2 검정 y=2(x-2)^2
**p만큼 이동이라는건 어쨌든 y=0일 때 x가 -p여야 하니까 서로의 부호가 반대여야 한다



06.이차함수 y=a(x-p)^2+q의 그래프
정의 y=a(x-p)^2+q는 x축의 방향으로 p만큼 y축의 방향으로 q만큼 평행 이동한 것이다
특징 y=p를 축으로 하고 점 (p,q)를 꼭지점으로 하는 포물선이다
Ex) Y=1x^2 y=1(x-1)^2+1의 그래프를 그려라

파란색 y=1x^2 초록색 y=1(x-1)^2+1



07.이차함수 y=ax^2+bx+c 의 그래프
이차함수 y=ax^2+bx+c의 그래프를 y=a(x-p)^2+p의 형태로 고쳐서 그리는 방법
Y=ax^2+bc+c
Y=a[x^2+b/ax+(b/2a)^2-(b/2a)^2]+c
y=a(x+b/2a)^2 – a*(b/2a)^2+c
Y=a(x+b/2a)^2-b^2-4ac/4a



축의 방정식(축의 좌표) = x=-b/2a
꼭지점의 좌표 = (-b/2a, -b^2-4ac/4a)
y축과 교점의 좌표 = (0,c)



08.이차함수 그래프의 식 구하기
꼭지점 (p,q)를 알 때
Y=a(x-p)^2+q의 한점을 대입해 a를 구한다
Ex)꼭지점 (1,2)와 점 (3,4)를 지나면
Y=a(x-p)^2에서 4=a(3-1)^2+2 4a+2=4 4a=2 a=1/2





그래프위에 서로다른 3점을 알 때
이차함수의 식을 y=ax^2+bx+c 로 둔다
3점에 좌표를 대입해 구한다
==1.y축과의 교점 + 다른 2점 y
===y=ax^2+bx+k에 대입
==2x축과의 두 교점 (a,0)(b,0)와 다른점
===y=a(x-p)(x-q)에 대입





09.y=ax^2+bx+c의 최대값과 최소값
이차함수 y=a(x-p)^2+q의 최대값 최소값
a>0일 때 x=p에서 최소값은 q 최대값은 없음
a<0일 때 x=p에서 최대값은 q 최소값은 없다

빨강 = y=1(x-1)^2+1 파랑 =y=-1(x-1)^2+1