01,실수의 분류
실수 - 유리수 – 정수 – 양의정수
- 0
-음의정수
- 정수가 아닌 유리수 – 유한소수
- 무한소수
무리수 – 비슷한 무한소수
**호칭**
자연수 n , 정수 z , 유리수 q 무리수 p , 실수 r
유리수의 조밀성
수직선 위의 두 유리수 사이에 무수히 많은 유리수가 있다
실수의 연속성
모든 실수를 수직선위에 대응시 빈틈없이 채울수 있다
02.연산에 관하여 “닫혀있다”
자연수 n , 정수 z , 유리수 q 무리수 p , 실수 r
유리수의 조밀성
수직선 위의 두 유리수 사이에 무수히 많은 유리수가 있다
실수의 연속성
모든 실수를 수직선위에 대응시 빈틈없이 채울수 있다
02.연산에 관하여 “닫혀있다”
정의
=어떤 수의 체계 (자연수 등에서) 연산을 수행한 결과가 선택한 쉐계 속에서 구할수 있을 때 , 결과를 찾을수 있을 때 “닫혀있다” 라고 한다
수체계 안에서의 의미
자연수 n
덧셈 , 곱셈에서 닫혀있고 뻴셈 나눗셈은 닫혀있지 않다
정수 z
덧,곱,뻴 셈에서 닫혀있고 나눗셈은 닫혀있지 안하
유리수 q 실수 r
덧 곱 뻴 나눗 셈에서 모두 닫혀있다 , 단 0으로 나누는 것은 제외한다
03.실수의 연산에서 기본 성질
항등원
=실수의 집합 R의 임의의 원소 a에 대해 a+0 , 0+a = a이다 , 이처럼 더해서 자기 자신이 되게 하는 것을 덧셈에 대한 항등원이라 한다
역원
=어떤수를 더해서 0이 되게 하는 수를 “덧셈에 대한 역원” 이라 한다
곱셈에 대한 역원
=”곱해서 1이 되게하는수” 로써 a일때는 1/a가 곱셈의 역원이다
연산의 기본성질
1.기본법칙
교환 = a+b = b+a a*b=b*a
결합 = (a+b) + c = a+(b+c) , (a*b*)*c = a*(b*c)
분배 = a*c(b*c) = a*b+a*c , (b+c)*a = b*a+c*a
2.항등원
덧셈에 대한 항등원 = a+0=0+a 0(포크)R
곱셈에 대한 항등원 = a*1=1*a 1(포크)R
3역원
덧셈에 대한 a의 역원 a+(-a)=(-a)+a=0 –a(포크)R
곱셈에 대한 a의 역원 a*1/a = 1/a*a=1 1/a(포크)R (a=/0)
03-02 일반시 연산
01 일반적 연산
등장배경
일반적으로 사칙연산은 “x 기호 y = 결과” 의 형태를 가진다, 하지만 이걸 연산 기호를 사용해 정의한 다음 약속하는 것
예로 8*2 = 10(8+2) 라고 할 때 a#b=10(a+b)로 정의 하는 것, 이를 “이항연산” , 간단히는 “연산” 이라고 하는것
Ex)두 실수 a,b에 대해 연산 #을 a#b = a+b-ab 로 정의하고 다음을 구하라
2#2 = 2+2-2*2=0
3#(-5)=3-5-3*(-5)=-13
02일반 연산에서의 항등원, 역원
**집합 m에서 연산 #이 정의되어 있을 때**
1.m의 임의의 원소 a에 대해 a#e = e#a=a가 되는 원소 e를 연산 #에 대한 항등원이라 한다
2.e가 항등원일 때 m의 원소 a에 대해 a#x=x#a=e가 되는 a를 역원이라 한다
03-03 실수의 대소와 절대값
01.실수의 대소에 관한 기본성질
실수 전쳉의 범위는 “ 양수 , 0 , 음수” 로 구성되어 있다
**양수 * 양수 > 0 , 양수 + 양수 >0 이라고 중학교 과정에서 짚고 넘어간다**
A가 실수일 때 a>0 , a=0 , a<0중 하나만 성립한다
a>0 b>0 이면 a+b>0 ab>0 이다
수직선 위에서 오른쪽에 위치하는 점에 대응 하는 수가 좌측에 대응하는 수보다 크다
02실수의 대소관계 정의
부등식을 사용 하기 시작하면서 사용한 특성
임의의 실수 a,b에서
==a>b , a<b , a=b 하나만 성립한다
==a>b , b<c이면 a>c이다
==a>b이면 임의의 실수 c에 대해 a+c > b+c , a-c > b-c 가 성립한다
==a>b , c>0 이면 ac > bc
==a>b , c <0 이면 ac<bc
가 성립한다
03.실수의 절대값
정의
=실수 a와 원점 o사이의 거리를 지칭 , 기호 |a|를 사용한다 , 즉 양수 음수 총 2개로 나누어서 생각해야 한다
|a|=a (a>=0) 과 -a(a<0) 이 성립한다
임의의 실수 a에 대해 |a|>=0 |-a|=|a| |ab|=|a|*|b| |a|^2 =a^2 |a/b|=|a/b| (b=/0)
03-4자신을 넘지않는 최대 정수
01.정의
X가 실수일 때 x를 넘지않는 기호 []를 사용해 [x]로 나타낸다
**가우스 기호 라고 부른다**
Ex)
실수 1/2를넘지않는 수 중에서 가장 큰 수는 0이므로 [1/2] = 0
0을 넘지 않는 정수중에서 가장 큰 수는 자기자신인 0이므로 [0] =0
X를 넘지않는 최대 정수를 [x] 로 나타낼 때 x<=x <n+1 이면 [x]=n 이다
=어떤 수의 체계 (자연수 등에서) 연산을 수행한 결과가 선택한 쉐계 속에서 구할수 있을 때 , 결과를 찾을수 있을 때 “닫혀있다” 라고 한다
수체계 안에서의 의미
자연수 n
덧셈 , 곱셈에서 닫혀있고 뻴셈 나눗셈은 닫혀있지 않다
정수 z
덧,곱,뻴 셈에서 닫혀있고 나눗셈은 닫혀있지 안하
유리수 q 실수 r
덧 곱 뻴 나눗 셈에서 모두 닫혀있다 , 단 0으로 나누는 것은 제외한다
03.실수의 연산에서 기본 성질
항등원
=실수의 집합 R의 임의의 원소 a에 대해 a+0 , 0+a = a이다 , 이처럼 더해서 자기 자신이 되게 하는 것을 덧셈에 대한 항등원이라 한다
역원
=어떤수를 더해서 0이 되게 하는 수를 “덧셈에 대한 역원” 이라 한다
곱셈에 대한 역원
=”곱해서 1이 되게하는수” 로써 a일때는 1/a가 곱셈의 역원이다
연산의 기본성질
1.기본법칙
교환 = a+b = b+a a*b=b*a
결합 = (a+b) + c = a+(b+c) , (a*b*)*c = a*(b*c)
분배 = a*c(b*c) = a*b+a*c , (b+c)*a = b*a+c*a
2.항등원
덧셈에 대한 항등원 = a+0=0+a 0(포크)R
곱셈에 대한 항등원 = a*1=1*a 1(포크)R
3역원
덧셈에 대한 a의 역원 a+(-a)=(-a)+a=0 –a(포크)R
곱셈에 대한 a의 역원 a*1/a = 1/a*a=1 1/a(포크)R (a=/0)
03-02 일반시 연산
01 일반적 연산
등장배경
일반적으로 사칙연산은 “x 기호 y = 결과” 의 형태를 가진다, 하지만 이걸 연산 기호를 사용해 정의한 다음 약속하는 것
예로 8*2 = 10(8+2) 라고 할 때 a#b=10(a+b)로 정의 하는 것, 이를 “이항연산” , 간단히는 “연산” 이라고 하는것
Ex)두 실수 a,b에 대해 연산 #을 a#b = a+b-ab 로 정의하고 다음을 구하라
2#2 = 2+2-2*2=0
3#(-5)=3-5-3*(-5)=-13
02일반 연산에서의 항등원, 역원
**집합 m에서 연산 #이 정의되어 있을 때**
1.m의 임의의 원소 a에 대해 a#e = e#a=a가 되는 원소 e를 연산 #에 대한 항등원이라 한다
2.e가 항등원일 때 m의 원소 a에 대해 a#x=x#a=e가 되는 a를 역원이라 한다
03-03 실수의 대소와 절대값
01.실수의 대소에 관한 기본성질
실수 전쳉의 범위는 “ 양수 , 0 , 음수” 로 구성되어 있다
**양수 * 양수 > 0 , 양수 + 양수 >0 이라고 중학교 과정에서 짚고 넘어간다**
A가 실수일 때 a>0 , a=0 , a<0중 하나만 성립한다
a>0 b>0 이면 a+b>0 ab>0 이다
수직선 위에서 오른쪽에 위치하는 점에 대응 하는 수가 좌측에 대응하는 수보다 크다
02실수의 대소관계 정의
부등식을 사용 하기 시작하면서 사용한 특성
임의의 실수 a,b에서
==a>b , a<b , a=b 하나만 성립한다
==a>b , b<c이면 a>c이다
==a>b이면 임의의 실수 c에 대해 a+c > b+c , a-c > b-c 가 성립한다
==a>b , c>0 이면 ac > bc
==a>b , c <0 이면 ac<bc
가 성립한다
03.실수의 절대값
정의
=실수 a와 원점 o사이의 거리를 지칭 , 기호 |a|를 사용한다 , 즉 양수 음수 총 2개로 나누어서 생각해야 한다
|a|=a (a>=0) 과 -a(a<0) 이 성립한다
임의의 실수 a에 대해 |a|>=0 |-a|=|a| |ab|=|a|*|b| |a|^2 =a^2 |a/b|=|a/b| (b=/0)
03-4자신을 넘지않는 최대 정수
01.정의
X가 실수일 때 x를 넘지않는 기호 []를 사용해 [x]로 나타낸다
**가우스 기호 라고 부른다**
Ex)
실수 1/2를넘지않는 수 중에서 가장 큰 수는 0이므로 [1/2] = 0
0을 넘지 않는 정수중에서 가장 큰 수는 자기자신인 0이므로 [0] =0
X를 넘지않는 최대 정수를 [x] 로 나타낼 때 x<=x <n+1 이면 [x]=n 이다
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