Chp02. 명제와 조건

02-1 명제와 조건

01.명제와 그 부정
명제의
정의 : 참인지 거짓인지를 명확하게 구별할수 있는 문장
표기 : 하나의 명제를 P로 지정하고 부정은 ~P로 나타낸다


명제 P가 참이면 ~P는 거짓이며 ~P가 참이면 P가 거짓이다
** ~(~P)=P



02. 조건과 진리집합
조건의 정의
=전체 집합이 이루어 질 때 변수 x를 포함하는 문장으로 전체 집합에 속하는 원소를 x에 대입하면 명제가 되는 것, 보통 P(x) ,Q(x)로 나타내고 조건 p로 나타낸다

전체 집합의 정의
=조건 p가 참이되는 x 전체의 집합


Ex)전체 집합이 자연수 전체의 집합일 때 다음 조건의 진리 집합을 구하라
P(x) x는 8의 약수이다 P={1,24,8}



03.조건의 부정
전체 집합 1,2,3,4에 조건 p가 “P(x)는 4의 약수이다” 일때 P(x)의 부정은 “x는 4의 약수가 아니다” 이때 ~P(x)로 나타내고 not P(x)로 읽는다, 일반적으로 P(x)의 진리집합이 (공집합)이때 ~P(x)의 진리집합은 P^c 이다
**~P(x)의 진리집합은 P^c로 정의한다



04. 조건으로 이루어진 명제
이를 테면 두가지 조건 “P=x는 4의 약수이다 Q=y는 8의 약수이다 “ 는 명제가 아니다, 하지만 “x가 4의 약수이면 x는 8의 약수이다” 로 바꾸면 두조건 p,q를 “p이면 q이다”로 나타낼수 있다



정의
=명제 p->q가 참 p=>q
=명제 p->q가 거짓 p=>/ q



05 명제의 참 거짓과 진리집합의 포함관계
전체집합 u={1,2,3,4…10}pd서 p:x는4의 약수 q:x는 8의 약수 일 때 p=1,2,4 q=1,2,4,8이다
이떄 p:x가 4의 약수 ->x가 8의 약수가 참이니
“X (∈) p ,x(∈)q , p(⊂)q 가 성립한다” 라고 한다

P(⊂)q이면 p=>q p(⊂)q

P(⊄)Q 일때
P=>Q

P(⊄)Q

EX)다음 명제가 참임을 증명하라
X>5 이면 X>1 이다 P={X|X>5} Q={X|X>1} 이므로 P(포함)Q 이다, 따라서 P->Q는 참이다

06.P or Q ,P and Q 의 부정
전체집합 u에서 조건 p,q의 진리 집합을 p,q라 할 때 p or q , p and q , ~p의 진리집합 = P∪Q , P∩Q , P^c 로 표현이 가능하ㅏ다



07. “모든” 과 “어떤”의 의미
모든,어떤이라는 단어가 명제에 들어가서 명제를 이룰수 있다
이때 “모든” 의 부정은 “모든 ~는 ~이 아니다” 가 아닌 “어떤 ~는 ~이다” 가 된다
**모든 <-> 어떤**



02-02 명제의 역, 이, 대우

01. 명제의 역, 이, 대우
명제 p->q에서 p를 가정 q를 결론이라 하고 명제 p->q에 대해
q->p는 역
~p->~q 는 이
~q ->~p 는 대우
가 된다



02.명제와 그의 역, 이, 대우, 의 참과 거짓
명제의 역, 이, 대우 의 참과 거짓
p->q가 참이면 대우 ~q -> ~p는 반드시 참이다
p->qr가 거짓이면 대우 ~q -> ~p는 반드시 거짓이다
명제 p -> q가 참이여도 역인 q -> p, 이인 ~p -> ~q가 반드시 참인 것은 아니다



03.필요조건 , 충분조건

01.정의
p->q 일때 , 즉 p->q가 참일 때
p는 q이기 위한 충분조건
q는 p익기 위한 필요조건



p<->q일 때 , 즉 명제 p->q 와 q->p가 모두 참일 때
p는 q이기 위한 필요충분조건
q는 p이기 위한 필요충분조건
이라 한다