Chp01. 집합의 연산

집합
=해당 대상을 명확하게 구분할수 있는 모임, 대문자로 나타낸다
원소
=집합을 이루는 대상 하나하나, 소문자로 나타냄

Ex)a가 집합S의 원소일 때 a는 s에 속한다고 말하며 a∈S로 나타낸다
Ex)a가 집합 S의 원소가 아닐 때 = a는 S에 속하지 않는다 a∉S로 나타낸다



02.집합의 표시법
정의=집합을 기호로 써서 나타내는 방법
방법
1.원소 나열법 = 집합 A에속하는 모든 원소를 { } 에 나타낸다
2.조건 제시법 = A에 속하는 원소 x가 가져야 할 성질을 {x|Ω } 에서 Ω 부분에 제시한다
즉 A={x|1 <= x < 5, x는 정수} 등으로 표시한다
**사용하는 이유 = 하당 집합의 원소의 개수가 무한히 많다면 나열하기 어렵기 때문**

Ex)
1.12의 양의 약수의 집합 P표시 P={1,2,3,4,6,12}
2.실수의 집합 b={x|x 는 실수}
3.자연수의 집합 c={x|x 는 자연수}



03.유/무 한 공집합
유한집합=유한개의 원소를 가지는 집합, 유한집합
무한집합=무한개의 원소를 가지는 집합
공집합 = 원소가 하나도 없는 상태 Ø 로 표현한다



01-2부분집합과 집합의 상동 

01.부분집합
예를들어 두 집합 ab가 있고 a={1,2,3} b={1,2,3,4,5} 일때 집합 a의 모든 원소가 b의 원소임을 알알 있을 때 a,b의 부분집합 이라 하고 A ⊂ B 또는 B ⊃ A로 나타낸다

이를 벤다이어그램 = (Venn diagram) 이라 한다


02.집합의 상동* 진부분집합
A={1,2,3} B={x|0<x<4 x는 정수} 에서 b는 1,2,3 이고 동시에 A⊂B , B⊃A가 성립한다
이때 A와 B는 서로 같다면 “A와 B는 상동”이다 라고 표현한다



01-3 집합의 원소 

01.합집합
집합 A={1,2,3} B={2,3,4,5}가 있을 때 A와 B의 모든 원소로 이루어진 집합 {1,2,3,4,5}을 A,B의 합집합 이라 한다, 이때 A⋃B 로 나타낸다
A⋃B ={1,2,3} ⋃ {2,3,4,5} = {1,2,3,4,5}이며 

도표로 나태내면

A⋃B = {x|x∈A or x∈B} A합 b로 읽는다



02.교집합
집합 A={12,3} , B={2,3,4,5}에서 공통된 원소로 이루어진 새로운 집합을 구성할 때 a와 b의 교집합, 공통집합 이라 한다, 이때 A∩B로 나타낸다


A∩B = {1,2,3,} ∩ {2,3,4,5} = {2,3}
A∩B = {x|x∈A and x∈B}

03.서로소
집합 A={1,2} , B={3,4,5,6} 에서 공통인 부분이 하나도 없을 때 A∩B = Ø 일때 서로소하고 한다



04.차집합
집합 A={1,2,3,4,5} B={2,4,6} 을 보면 A에 속하는 원소 가운데 B에 속하지 않는 원소로 이루어진 집합 {1,3,5,}에 해당하는 집함 A-B로 나타낸다, A-B는 A-B ={x|x ∈A and x∉B } “A차B”라고 읽는다



05.전체집합 여집합
예로 U={a~z}모든 알파벳 문자 , A={a,b,c,d} 일때 a는 집합 U의 부분집합이라 할 수 있다.
이때 잡합 U를 A에 대한 전체 집합, U에는 속하지만 A에는 속하지 않는 전체 원소의 집합 U-A를 A의 여집합이라 하고 A^⊂ 라고 나타낸다 (이때 ⊂는 complementary set의 약자이다)
A^⊂={x|x ∈ U and x∉A}



06.집합의 연산법칙
U를 전체집합, ABC를 부분집합이라 할 때 다음 계산법칙이 적용된다



1.교환법칙
A U B = B U A
A ⋂ B = B ⋂ A



2.결합법칙
(A U B) U C = A U (B U C)
(A ⋂ B) ⋂ C = A ⋂ (B ⋂ C)



3분배법칙
A U (B U C) = (A U B) ⋂ (A U C)
A ⋂ (B U C) = (A ⋂ B) ⋂ (A ⋂ C)

4.드모르간의 법칙

01-4 유한집합의 원소의 개수


01.유한집합의 원소의 개수
정의= 집합M이 유한 집합일 때 원소의 개수를 n(M)으로 나타기로 한다
A ⋂ B= Ø 일때 n(A U B) = n(A) + n(B) 가 성립한다
A ⋂ B=/ Ø 일때는 n( A U B ) = n(A) + n(B) – n( A ⋂ B ) 가 성립한다