Chp7. 기하,이항,푸아송분포

본론
기하,이항,푸아송분포
-geometric,binomial,poisson distribution
*끝이 없는 확율 분포에 대한 확율은 어떻게 구하는가?*
확율 기하 분포의 사용 , 1회 시도에 20%의 성공을 가지는 행동에서 R번째에 성골할 확율은?
P(x=r)=q^r-1

기하분포의 그래프
회차가 지날수록 확율이 줄어든다

기하분포의 부등식
P(x>r)=q^r
성공을 위한 최소의 시행수가 r보다 크다, r번의 실패가 있다
P(x≤r)+P(x≥r)=1
r번보다 적은 시도 + r보다 큰 시도 = 1
p(x≤r)=1 - P(x>r)  --> P(x≤r)1-q^r

기하분포의 기대치
회차 회차만에 될 확률 확률*회차 누계
x P(x=x) xP(x=x) xP(X≤x)
1 0.2 0.2 0.2 0.2
2 0.8*0.2 0.16 0.32 0.52
3 0.8^2*0.2 0.128 0.384 0.904
4 0.8^3*0.2 0.1024 0.4096 1.3136
5 0.8^4*0.2 0.08192 0.4096 1.7232
6 0.8^5*0.2 0.065536 0.393216 2.116416

확율이 5까지 증가하고 줄어든다
성공율이 0.2=5번중 1번 성공한다는 결론과 일치

기대치
E(x)=1/p
분산
Var(x)=E(x^2)-E^2(x) -> Var(x)=q/p^2
(Σx^2P(X=x))
시도의 수가 일정하지 않아도 기대치과 분산을 구할수있다

시행의 수가 정해져있고 그 안에서 성공까지의 횟수에 관심이 있을때
**E(x)=1/p , Var(x)=q/p^2**
P(x=x)pq^r-1  --> r번째에서 성공
P(x>r)=q^r    --> r번째 이상
P(x≤r)=1-q^r  --> r혹은 이하의 시도

이항분포
**특정횟수에 대한 확율**
P(X=r)nCr * p^r * q^n-r
  (n!/r!(n-r)!)

기대값
E(x)=nP
분산
Var(X)=npq

기하분포와 이항분포의 차이
이항분포-시행횟수가 정해져있다

푸아송 분포(poisson distribution)
이항,기하분포와는 다르다
---X ~po(λ)
1.개별사건이 어떤 주어진 구간에 임의로 독립적으로 발생
2.해당 구간에서 사건이 발생하는 평균이나 비율을 안다 발생하는 수의 평균을 λ로 표현

p(x=r)=e^-λ *^r / r! (e는 수학상수고 2.718)

ex) 특정 구간에서 2회 발생하고 다음과 같은 분포를 따른다 X !po(2)
P(x=3) = e^-2 * 2^3/3! = e^-2 * 8 / 6

푸아송 분포의
기대값
E(x)=λ
분산
Var(x)=λ
***푸아송 분포 자체가 구간에서 발생하는 확율***

그래프에서 λ
작다
분포가 우측
크다
좌우 대칭
λ=정수
λ와 -1의 최빈값이 있다
최빈값은 λ

근사치
n의 값이 크다면 언젠가 n!연산도 해야된다
(nCr 에서 n이 커지니까 n! 도 해야한다)
**포아송 분포의 근사치로 해결한다*
n이 매우클때 p가 매우 작을때 사용
--기대값 E(x)=np=λ
--분산 Var(x)=λ=npq